FÍSICA - MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (M.H.S)

Se um relógio de pêndulo for levado ao topo de uma montanha, ele atrasará ou adiantará em relação ao funcionamento na base da montanha? 

Qual a diferença de tempo, após um dia, na comparação com um relógio idêntico que ficou na base da montanha de 6,4 km de altura?

O primeiro passo é entender o movimento de um pêndulo. 

Para isso exemplifica-se um pêndulo de comprimento L, vê-se:

No pêndulo de comprimento L, a massa da partícula é m. O fio faz ângulo de oscilação com a vertical. As forças atuantes são o peso da partícula e a tração no fio. O peso é decomposto em uma componente radial azul e uma componente tangencial amarela. 

A componente radial é a força centrípeta que mantém a trajetória circular de raio L. A componente tangencial é a força restauradora do movimento.

Para que ocorra movimento harmônico simples é necessário que se considere o ângulo de oscilação, suficientemente, pequeno e quando isso acontece, as relações trigonométricas seguem os seguintes aspectos:

Como o ângulo de oscilação é pequeno o deslocamento da partícula pode ser considerado a distância x ao invés do arco de circunferência descrito. (erro de 0,1 %).

Analisa-se a componente radial da força resultante:

A velocidade angular do movimento é dada por:

Sabe-se, que o período do pêndulo depende do comprimento do pêndulo e da aceleração da gravidade local. O relógio de pêndulo utiliza esse período como sua medida de segundos, logo o período deve ser de 1 s para o relógio que funciona na base da montanha.

O segundo passo é entender a variação da gravidade local em relação a altitude. Considera-se um corpo de massa m na superfície da Terra de massa M e raio R. SejaP_o o peso do corpo nesta altitude zero e g_o a aceleração da gravidade neste local, como mostra a figura.

Considera-se um corpo de massa m na altitude h em relação à superfície da Terra de massa M e raio R. Seja P o peso do corpo nesta altitude e g a aceleração da gravidade neste local, como mostra a figura.

O terceiro passo é calcular a razão entre a gravidade na superfície da terra e no alto da montanha, tem-se:

Percebe-se, então, que a gravidade no alto da montanha é 0,2 % menor que na superfície da terra ao nível do mar. Este fato atrasa o relógio de pêndulo quando o mesmo esta no alto da montanha. Calcula-se a razão entre T o período do relógio no topo da montanha com gravidade g e T0 o período do relógio na base da montanha com gravidade g0:

O período do relógio na base da montanha é T0 = 1 s, cada ciclo do pêndulo dura 1 se movimenta o ponteiro do relógio em 1 s. Tem-se:

O relógio do topo da montanha demora 1 milésimo de segundo a mais para completar um ciclo do pêndulo. Quando o período é 1 s significa que o pêndulo completa 1 ciclo em 1 s e o número de ciclos em 1 dia que tem 24 h de 3.600 s é 86.400. Se o período aumenta o número de ciclos em 1 dia diminui, grandezas inversamente proporcionais. Tem-se:

O relógio da base da montanha conta 86.400 ciclos que indica 86.400 s ou 1 dia. Nesse mesmo período o relógio do topo da montanha conta 86.314 ciclos que indica 86.314 s menos que 1 dia. Calcula-se o atraso do relógio do topo da montanha:

O relógio no topo da montanha terá um atraso de 1 min e 26 s.

http://www.da-educa.com/2011/03/fisica-movimento-harmonico-simples-lei.html